Гамма-функция

$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt,~~ x > 0$$

$$\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt = \int_{0}^{1} t^{x-1}e^{-t}dt + \int_{1}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$$ При $t \to \infty$, $t^{x-1}e^{-t} \leq \dfrac{1}{t^2}$, значит интеграл сходится при любых $x$. При $t \to 0$, $t^{x-1}e^{-t} \sim t^{x-1}$ и сходится при $x > 0$.