Тригонометрические

Для нахождения интеграла от тригонометрических функций в общем случае делают универсальную тригонометрическую подстановку $$\mathrm{tg} \dfrac{x}{2} = t,~~\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^{2}},~~\cos x = \dfrac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},~~dx = \dfrac{2dt}{1 + t^{2}}$$ В следующих случаях, можно получить более простую функцию: - $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$, замена $\cos x = t$ - $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$, замена $\sin x = t$ - $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$, замена $\mathrm{tg} x = t$ или $\mathrm{ctg} x = t$

**Подстановка** $\sin x$ $$\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2} = 2\mathrm{tg} \dfrac{x}{2}\cos^{2} \dfrac{x}{2} = \dfrac{2\mathrm{tg} \dfrac{x}{2}}{1 + \mathrm{tg} ^{2} \dfrac{x}{2}} = \dfrac{2t}{1 + t^{2}}$$ **Подстановка** $\cos x$ $$\cos x = 2\cos ^{2} \dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{2}{1 + \mathrm{tg} ^{2} \dfrac{x}{2}} - 1 = \dfrac{1 - \mathrm{tg} ^{2} \dfrac{x}{2}}{1 + \mathrm{tg} ^{2} \dfrac{x}{2}} = \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$ **Подстановка** $dx$ $$dt = d\left( \mathrm{tg} \dfrac{x}{2} \right) = \dfrac{1}{2}\left( 1+ \mathrm{tg} ^{2} \dfrac{x}{2} \right) dx \implies dx = \dfrac{2dt}{1+t^{2}}$$