Рациональные

Пусть $P_{n}(x)$ и $Q_{m}(x)$ - многочлены, где $n = \deg P(x)$, $m = \deg Q(x)$. Тогда $\int \dfrac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} \, dx$ выражается через элементарные функции.

Если $n \geq m$ , разделим нацело: $$\dfrac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} = R_{n - m}(x) + \dfrac{P^{`}_{k}(x)}{Q_{m}(x)}$$ где $k < m$. $\int R_{n - m} \, dx = \int (a_{0}x^{n - m} + \dots + a_{n - m}) \, dx$ - выражается через элементарные. Знаменатель дроби имеет вид: $$Q_{m}=(x - x_{1})^{k_{1}}\dots(x - x_{s})^{k_{s}}(x^{2} + b_{1}x + c_{1})^{j_{1}}\dots(x^{2} + b_{r}x + c_{r})^{j_{r}}$$ Разложим $\dfrac{P^{`}_{k}(x)}{Q_{m}(x)}$ на простые дроби, получим 4 различных вида интегралов: 1) $\int \dfrac{1}{x - x_{0}} dx = \ln |x - x_{0}| + C$ (табличный) 2) $\int \dfrac{1}{(x - x_{0})^n}dx = \dfrac{(x - x_{0})^{-n + 1}}{-n + 1} + C$ (табличный) 3) $\int \dfrac{x + B}{x^{2} + bx + c}$ 4) $\int \dfrac{x + B}{(x^{2} + bx + c)^{n}}$ Выразим 4-й интеграл: $$\int \dfrac{x + B}{(x^{2} + bx + c)^{n}} \, dx = \int \dfrac{x + \dfrac{b}{2} - \dfrac{b}{2} + B}{\left(\left(x + \dfrac{b}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} + c \right)^{n}} \, dx = \left[\begin{gathered} E = B - \dfrac{b}{2} \\ Ъ = \sqrt{c - \left( \dfrac{b}{2} \right)^{2}} \end{gathered} \right] = $$По линейности неопределенных интегралов: $$= \int \dfrac{x+\dfrac{b}{2}}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}+Ъ^{2}\right)^n} \, dx + \int \dfrac{E}{\left(\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}+Ъ^{2}\right)^n} \, dx = A + EI_{n}$$ Сделаем замену переменной в $A$ и в $I_{n}$: $$A = \left[ \begin{gathered} t = \left(x + \dfrac{b}{2} \right)^{2} \\ dt = 2\left(x+\dfrac{b}{2} \right)dx \end{gathered} \right] = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dt}{(t+Ъ^{2})^{n}} = \dfrac{1}{2} \dfrac{(t + Ъ ^ {2})^{-n+1}}{1-n} + C$$ $$I_{n} = \left[ \begin{gathered} t = x + \dfrac{b}{2} \\ dt = dx \\ \end{gathered} \right] = \int \dfrac{dt}{(t^{2} + Ъ^{2})^{n}} $$ Тогда при $n = 1$: $$I_{1} = \int \dfrac{dt}{t^2 + Ъ^{2}} = \dfrac{1}{Ъ} \mathrm{arctg} \dfrac{t}{Ъ} + C$$ Интегрируем по частям $I_{n}$: $$\begin{bmatrix} u = \dfrac{1}{(t^2 + Ъ^{2})^n} & dv = dt \\ du = \dfrac{-2nt}{(t^{2} + Ъ^{2})^{n + 1}} \, dt & v = t \end{bmatrix}$$ $$\begin{align} I_{n} &= \dfrac{t}{(t^{2}+Ъ^{2})^{n}} + \int \dfrac{2n t^{2}}{(t^2 + Ъ{^2})^{n + 1}} \, dt = \dfrac{t}{(t^{2}+Ъ^{2})^{n}} + 2n \int \dfrac{t^{2} + Ъ^{2} - Ъ^{2}}{(t^2 + Ъ{^2})^{n + 1}} \, dt = \\ \\ &= \dfrac{t}{(t^{2}+Ъ^{2})^{n}} + 2n \int \dfrac{t^{2} + Ъ^{2}}{(t^{2} + Ъ^{2})^{n+1}} \, dt - 2nЪ^{2} \int \dfrac{dt}{(t^{2} + Ъ^{2})^{n+1}} = \\ &= \dfrac{t}{(t^{2}+Ъ^{2})^{n}} + 2n \cdot I_{n} - 2nЪ^{2} \cdot I_{n+1} \end{align}$$ А значит можем выразить интеграл следующей степени через предыдущий: $$I_{n + 1} = \dfrac{I_{n}(2n - 1) + \dfrac{t}{(t^{2}+Ъ^{2})^{n}}}{2nЪ^{2}}$$ $\square$

Любой интеграл от рациональной функции можно представить в виде: $$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)} \, dx = \dfrac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int \dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)} \, dx$$ где: - $Q_{2}(x)$ - произведение простых неприводимых множителей многочлена $Q(x)$ - $Q_{1}(x) = \dfrac{Q(x)}{Q_{2}(x)}$ - Дробь $\dfrac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}$ правильная.

$$\int \dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} \, dx = Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \int \dfrac{\lambda}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} \, dx $$ (метод аналогичный методу неопределённых коэффициентов)