Эллипс
Определение: Эллипс
**Определение:**
Кривая называется эллипсом, если в подходящей системе координат её уравнение имеет вид: $$ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0) $$ **Границы:** - По оси $x$: $|x| \leq a$ - По оси $y$: $|y| \leq b$ **Параметры:** - $a$ — большая полуось - $b$ — малая полуось
**Фокальное расстояние**:
$$ c = \sqrt{a^2 - b^2} $$
**Фокусы:**
Расположены на большой оси в точках: $$ F_1 = (-c, 0), \quad F_2 = (c, 0) $$
**Эксцентриситет:**
$$ e = \dfrac{c}{a} \quad (0 \leq e < 1) $$
**Директрисы:**
Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от центра на расстояние $\dfrac{a}{e}$: $$ x = \pm \dfrac{a}{e} $$
Лемма: Фокальные радиусы
**Формулировка:**
Для произвольной точки $M(x, y)$, лежащей на эллипсе $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, расстояния до фокусов выражаются формулами: $$ \begin{aligned} MF_1 &= a + e x \\ MF_2 &= a - e x \end{aligned} $$ где $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ - фокусы
**Д-во:**
Выразим $y^2$ из уравнения эллипса: $$ y^2 = b^2\left(1 - \dfrac{x^2}{a^2}\right) $$ Вычислим $MF_1$ через координаты: $$\begin{aligned} MF_1 &= \sqrt{(x + c)^2 + y^2} =\\ &= \sqrt{x^2 + 2c x + c^2 + b^2 - \dfrac{b^2 x^2}{a^2}} =\\ &= \sqrt{\left(1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x^2 + 2c x + (c^2 + b^2)} = \end{aligned}$$ Подставим $c^2 = a^2 - b^2$: $$= \sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}x^2 + 2c x + a^2} = \sqrt{(e x + a)^2} = a + e x$$ Аналогично доказывается для $MF_2$ (только минус появится перед $c$). $\square$
Теорема: Фокальное свойство эллипса
**Формулировка:**
Точка $M$ принадлежит эллипсу с фокусами $F_1$, $F_2$ и большой полуосью $a$ $\iff$ $MF_1 + MF_2 = 2a$
**Д-во:**
$\Large\implies$ Следует из леммы выше. $\Large\impliedby$ Пусть для точки $M(x,y)$ выполняется $MF_1 + MF_2 = 2a$. Покажем, что $M$ лежит на эллипсе: Запишем условие через координаты: $$\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$$ Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат: $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2$$ Сократим $y^{2}$, раскроем скобки, сократим $x^{2} + c^{2}$, поделим на $4$ и перенесём, получим: $$a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 - cx$$ Повторно возведём в квадрат: $$a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 - 2a^2cx + c^2x^2$$ Приводим к виду: $$(a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)$$ Делим на $a^2(a^2-c^2) = a^2b^2$: $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ А значит точка $M(x, y)$ лежит на эллипсе. $\square$
Теорема: Площадь эллипса
Формула:
$$S = \pi a b$$
Д-во:
Из уравнения эллипса получаем: $$y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^{2}}{a^{2}}} = \pm \dfrac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$$ По симметрии вычислим площадь четверти эллипса ($x \geq 0, y \geq 0$): $$ S_{\frac{1}{4}} = \int_0^a \dfrac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx $$ Сделаем замену: $$S_{\frac{1}{4}} = \begin{bmatrix} x = a\sin t & 0 \to 0 \\ dx = a\cos t \, dt & a \to \dfrac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \dfrac{b}{a} \int_0^{\pi/2} a \cos t \cdot a \cos t dt = ab \int_0^{\pi/2} \cos^2 t dt$$ Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$: $$ S_{\frac{1}{4}} = ab \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} (1 + \cos 2t) dt = \frac{ab}{2} \left(t + \frac{\sin 2t}{2}\right)\Bigg|_0^{\pi/2} = \frac{\pi ab}{4} $$ Полная площадь: $S = 4S_{\frac{1}{4}} = \pi ab$. $\square$