Парабола

Парабола задаётся уравнением: $$ y^2 = 2px $$ где $p > 0$ **Фокус:** $F\left( \dfrac{p}{2}, 0 \right)$ **Директриса:** $x = -\dfrac{p}{2}$ **Эксцентриситет:** $e = 1$

Точка $M$ лежит на параболе $\iff$ $d(M, l) = MF$, где $l$ — директриса, $F$ — фокус.

$\Large\implies$ Пусть $M(x,y)$ лежит на параболе ($y^2 = 2px$): $$ MF = \sqrt{\left(x - \dfrac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \sqrt{\left(x - \dfrac{p}{2}\right)^2 + 2px} = \sqrt{\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^2} = \left|x + \dfrac{p}{2}\right| $$ Так как $x \geq 0$ для параболы, раскроем модуль с плюсом: $MF = x + \dfrac{p}{2}$. Расстояние до директрисы: ${} d(M, l) = x + \dfrac{p}{2} {}$. Следовательно, $MF = d(M, l)$. $\Large\impliedby$ Пусть $MF = d(M, l)$. Распишем утверждение по стандартной формуле: $$ \sqrt{\left(x - \dfrac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x + \dfrac{p}{2}\right| $$ Возведём в квадрат: $$ \left(x - \dfrac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \dfrac{p}{2}\right)^2 $$ Упростим: $$ y^2 = \left(x + \dfrac{p}{2}\right)^2 - \left(x - \dfrac{p}{2}\right)^2 = 2px $$ $\square$

По сути в эллипсе, гиперболе и параболе мы вводим фокальное расстояние $c$ так, чтобы эксцентриситет $e$ всегда был что-то типо $\dfrac{c}{a}$, а директориальное свойство: $$\dfrac{|FM|}{d(M, \text{директриса})} = e$$