Гипербола

$$ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 $$ где $a > 0$, $b > 0$ **Фокальное расстояние:** $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ **Фокусы:** $F_{1}(-c, 0)$, $F_{2}(c, 0)$ **Эксцентриситет** - $e = \dfrac{c}{a} > 1$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ **Директрисы:** $x = \pm \dfrac{a}{e}$ **Вид:** две симметричные ветви при $|x| \geq a$

Асимптоты гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ задаются уравнениями: $$ y = \pm \dfrac{b}{a}x $$

Рассмотрим правую ветвь гиперболы: $$ y(x) = \dfrac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2} $$ **Угловой коэффициент:** $$ k = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{y(x)}{x} = \dfrac{b}{a} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} = \dfrac{b}{a} \cdot 1 = \dfrac{b}{a}$$ **Свободный член:** $$ l = \lim_{x \to +\infty} \left( y(x) - kx \right) = \dfrac{b}{a} \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 - a^2} - x \right) = $$ $$ = \dfrac{b}{a} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{ -a^2 }{ \sqrt{x^2 - a^2} + x } = \dfrac{b}{a} \cdot 0 = 0 $$ Аналогично для левой ветви ($y = -\dfrac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}$) получаем $k = -\dfrac{b}{a}$, $l=0$. Следовательно, асимптоты: $y = \pm \dfrac{b}{a}x$. $\square$

Для точки $M(x,y)$ на правой ветви ($x > 0$): $$ \begin{aligned} MF_1 &= e x + a \\ MF_2 &= e x - a \end{aligned} $$ Для левой ветви ($x < 0$): $$ \begin{aligned} MF_1 &= - (e x + a) \\ MF_2 &= - (e x - a) \end{aligned} $$

Найдём расстояние до ${} F_{2} {}$ по стандартной формуле: $$MF_{2} = \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} - 2cx + c^{2} + b^{2}\left( \dfrac{x^{2}}{a^{2}} - 1 \right)} = $$ $$\sqrt{\dfrac{x^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}} - 2aex + c^{2} - b^{2}} = \sqrt{x^{2}e^{2} - 2aex + a^{2}} = |ex - a|$$ Раскрываем модуль в зависимости от ветви: с плюсом на правой, с минусом на левой. Аналогично доказывается $MF_{1} = \pm(ex + a)$ $\square$

Точка $M$ принадлежит гиперболе $\iff$ $|MF_1 - MF_2| = 2a$.

$\Large\implies$ Следует из леммы. $\Large\impliedby$ Пусть $|MF_1 - MF_2| = 2a$. Распишем по стандартной формуле и без ограничения общности раскроем модуль **с минусом**: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a $$ Перенесём корень: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} $$ Возведём в квадрат: $$ (x - c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + (x + c)^2 + y^2 $$ Упростим: $$ x^2 - 2cx + c^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 $$ $$ -4cx = 4a^2 + 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} $$ $$ -a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = a^2 + cx $$ Возведём в квадрат: $$ a^2 \left( (x + c)^2 + y^2 \right) = (a^2 + cx)^2 $$ $$ a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2 $$ $$ (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2) $$ Подставим $c^2 - a^2 = b^2$: $$ b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 $$ $$ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 $$ $\square$